?orthogonal

orthogonal發(fā)音

英：[?:'θ?g?nl]　　美：[?:'θ?g?n?l]

英：　　美：

orthogonal中文意思翻譯

adj.直角的, 直交的

orthogonal詞形變化

副詞: orthogonally |

orthogonal常見例句

1 、Camber line won"ts do orthogonal arc tooth wimble gear.───中心線不成直角的弧齒錐齒輪。

2 、A fast modulation measurement profilometry based on orthogonal spatial carrier is proposed.───提出了一種基于正交方向空間載頻的快速調(diào)制度測量輪廓術(shù)。

3 、Optimization to the Seedling Growth of Dendrobium loddigesii Rolfe. in vitro by Orthogonal Design[J].───引用該論文 吳明開,朱國勝,毛堂芬,劉作易,金家興,毛秀華.

4 、An orthogonal design and cellular automata based acceleration parallel genetic algorithm (APGA) is presented.───為此,結(jié)合正交試驗設(shè)計和元胞自動機模型,提出了一種改進的加速并行遺傳算法(APGA)。

5 、They form a three-parametric, orthogonal net and may be chosen as coordinate lines of a special, curvilinear coordinate system.───它們形成三參數(shù)正交網(wǎng)，可以把它們選作特殊曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)線。

6 、Most applications involve simultaneous stabilization on three orthogonal axes.───大多數(shù)應(yīng)用要求在三個相互垂直的軸上同時進得穩(wěn)定。

7 、The condition of microwave-assisted extraction mentha rotundifolia volatile oil was studied through orthogonal design.───利用正交實驗研究微波輔助萃取魚香草揮發(fā)油的工藝條件。

8 、Can be circular arc model, also can be orthogonal model, some rooms entrance still can design porch to close corridor.───可以是圓弧型的，也可以是直角型的，有的房型入口還可以設(shè)計成玄關(guān)關(guān)走廊。

9 、The Lorentz transformation of orthogonal bases is derived by means of matrix in Euclidean four dlimension space.───引入時間單位矢,構(gòu)成四維歐氏空間,給出了在洛侖茲變換下任意正交曲線坐標(biāo)基矢的矩陣表達式.

10 、In this paper a new design for orthogonal three channel ECG and PCG signal sampling system was introdued.───本文介紹了一種正交三導(dǎo)聯(lián)心電和心音信號采集系統(tǒng)。

11 、Method: The preparative technology of cimetidine tablets was optimalized by the method of Orthogonal experiment.───方法:用正交試驗法對西咪替丁片的生產(chǎn)工藝進行優(yōu)化考察。

12 、The orthogonal design study on tumor-inhibition and cancer-block role of Chinese medicinal 1023 co.───1023合劑對實驗性口腔癌的抑瘤及阻癌的正交實驗研究。

13 、The problem for constructing wavelets from a M-band orthogonal interpolatory scaling function was considered.───摘要考慮由M-帶正交**值函數(shù)構(gòu)造相應(yīng)小波函數(shù)的矩陣擴充問題。

14 、The formulae of Acyclovir disperse tablet were optimized in terms of disintegrating time by orthogonal design test.───以崩解時限為指標(biāo),采用正交設(shè)計試驗,對阿昔洛韋分散片處方進行篩選。

15 、METHODS:The formulation of lansoprazole tablet was selected by screening with the method of orthogonal design.───方法：應(yīng)用正交試驗設(shè)計進行片心處方篩選。

16 、Based on orthogonal test,structural parameters of mixing mechanism for twin shaft mixer are researched.───利用正交試驗,對雙臥軸攪拌機攪拌裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了研究。

17 、Can be circular arc model, also can be orthogonal model, some rooms entrance still can design porch corridor.───可以是圓弧型的，也可以是直角型的，有的房型入口還可以設(shè)計成玄關(guān)走廊。

18 、Construct an animation displaying all pairs of orthogonal tangents to a given parabola.───建構(gòu)一動態(tài)繪圖。展示給定的拋物線外所有成對的正交切線。

19 、Orthogonal experiments were used to determine influence of some factors in acid bating on qualities of leather.───對酸性蛋白酶的分子量進行了測定，對比了酸性蛋白酶與胰酶中的膠原酶活力，以說明酸性酶軟化與胰酶軟化對膠原性質(zhì)的影響。

20 、You will not be an artist until you have mastered the rules of linear perspective and orthogonal lines, the laws of drawing and precise contour.─── 你們是沒法成為藝術(shù)家的 除非你們掌握 直線透視法和正交線的規(guī)則 掌握描繪精細輪廓的規(guī)律

21 、It can always be arranged that degenerate eigenfunctions are orthogonal.───總可以做到使得簡并的本征函數(shù)是正交的。

22 、The orthogonal signal correction (OSC) is a popular algorithm in the signal preprocess.───基于正交投影的正交信號校正(OSC)算法是近年來在光譜處理上很活躍的一種方法。

23 、Sealing side still should be round horn, cannot straight arris is orthogonal.───封邊還應(yīng)是圓角，不能直棱直角。

24 、Methods The orthogonal experimental design method was used to optimize the formulation of the pellets of theophylline.───方法：采用多層包衣的方法，以體外釋藥時滯和釋藥速率為指標(biāo)，經(jīng)正交試驗設(shè)計，篩選較佳的處方組成和工藝。

25 、The principal directions corresponding to two distinct principal strains are orthogonal.───和兩個不同的主脅變相對應(yīng)的主方向是互相正交的。

26 、The profit signal and noise vectors are orthogonal to each other, so the variation vector is the hypotenuse in a right triangle.───有效信號適量和噪聲信號適量相互正交，所以變量矢量是直角三角形的斜邊。

27 、Construct rotating cardioid and deltoid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉(zhuǎn)的心臟線和旋轉(zhuǎn)的三角線，且彼此維持正交。

28 、Methods Referring to the content of Paeoni- florin ,orthogonal design was applied.───方法以芍藥苷含量為指標(biāo)，采用正交實驗法進行工藝優(yōu)選。

29 、Orthogonal Experimental Design(OED) is an efficient method to the analysis of multi-factor problems.───摘要對于多因素問題的實驗分析，正交試驗設(shè)計(OED)是一種高效率的方法。

30 、Construct rotating nephroid and three-cusped epicycloid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉(zhuǎn)的腎臟線和旋轉(zhuǎn)的三瓣外擺線，且彼此維持正交。

31 、METHOD:Using astragaloside IV as the detection index to explore the extraction process by orthogonal design.───方法:采用正交設(shè)計優(yōu)選,以黃芪甲苷為檢測指標(biāo)。

32 、The flash butt welding parameters of axisymmetric 45 steel were determined utilizing the orthogonal test.───摘要利用正交試驗法確定了45鋼的閃光對焊軸對稱件焊接工藝。

33 、The milling test for stainless steel ramp is carried out with the multi-factors orthogonal test method.───摘要采用多因素正交試驗法進行了不銹鋼傾斜面的球頭銑削試驗；

34 、Orthogonal optimum design of laser peen forming based on finite element simulation[J].───引用該論文 曹向廣,周建忠,袁國定,杜建鈞,倪敏雄.

35 、Method: The using rate of volatiles was used to evaluate the technologies based on orthogonal design.───方法:采用正交法設(shè)計實驗,以揮發(fā)油利用率為指標(biāo)評價包合工藝。

36 、METHODS To optimize the extraction process of Folium Ginkgo and Rhizoma Chuanxiong by orthogonal test.───方法:對君藥銀杏葉、川芎的提取工藝用正交試驗進行優(yōu)選。

37 、METHODS To optimize the extraction process of Folium Ginkgo and Rhizomo Chuanxiong by orthogonal test.───方法：對君藥銀杏葉、川芎的提取工藝用正交試驗進行優(yōu)選。

38 、Methods The clarification process of Prunus americana juice was studied through single factor and orthogonal test.───方法 通過單因子試驗和正交試驗研究布朗李汁的澄清工藝。

39 、METHOD The orthogonal test were adopted.───方法采用正交試驗優(yōu)化水解條件。

40 、Construct two mutually orthogonal tangents of the deltoid. Where do they meet?───2三角星形線的兩條互相垂直的切線的交點在哪里?

41 、METHODS The optimal alcohol extration and water decoction extration process were selected with the orthogonal design.───方法分別以**陽藿苷、水飽和正丁醇提取物為指標(biāo),以正交試驗法確定乙醇提取及水煎煮最優(yōu)條件;

42 、Orthogonal decomposition of seismic data is an important subject worth studying.───摘要地震記錄正交分解是值得研究的重要問題。

43 、The conclusion is that the acceleration of IVC is orthogonal to velocity centrode.───指出瞬心加速度正交于瞬心線。

44 、Dynamorphic generators, conceptual geometer, beam synthesizer, orthogonal engine filters.─── 超形態(tài)生成器 概念幾何工具 射線混成器 正交引擎過濾器

45 、This paper covers the design and orthogonal test of silencer.───摘要本文探討了**器設(shè)計與正交試驗。

46 、The problems involved in the resolution of forces and displacements are not evident while we use orthogonal cartesian axes.───在采用迪卡兒直角坐標(biāo)時，力和位移分解中的問題是不明顯的。

47 、The multicomponent factors in groundwater influenced on concrete corrupt were reviewed through orthogonal test.───摘要通過混凝土腐蝕的正交試驗考察地下水中的多成分因素在混凝土腐蝕中的影響效應(yīng)。

48 、Methods:The method of quadratic regressive orthogonal experiment was used.───方法:采用二次回歸的正交試驗法。

49 、The orthogonal test was used to optimize extraction process of Plumula Nelumbinis with the extraction rate of neferine.───方法以甲基蓮心堿轉(zhuǎn)移率為評價指標(biāo),采用正交實驗法對蓮子心的提取工藝進行優(yōu)選。

50 、PLOB! (Persistent Lisp OBjects!) implements orthogonal persistency for LISP and CLOS objects.───為LISP和CLOS對象實現(xiàn)了正交持久性。

51 、Construct rotating cardioid and astroid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉(zhuǎn)的心臟線和旋轉(zhuǎn)的星狀線，且彼此維持正交。

52 、C++ retains much of C, including a rich operator set ,nearly orthogonal design, terseness , and extensibility.───C++保留了C語言的大量特性，包括豐富的算符集，接近正交設(shè)計，簡明扼要和具有可擴充性。

53 、The coupling impact of the two errors to the whole mechanism is studied with the method of orthogonal test and FEM.───將有限元法和正交試驗法相結(jié)合研究兩種誤差對整個機構(gòu)耦合關(guān)系的影響；

54 、In this paper we propose a new approach called orthogonal signal reconstruction(OSR).───本文提出一種時域提取瞬時參數(shù)的方法-OSR,并與其它常用方法作了比較。

55 、Applying the orthogonal experiment design,the root induction culture of Prunus armeniaca was studied.───應(yīng)用正交試驗設(shè)計擬定試驗方案,對大扁杏組培苗的生根培養(yǎng)進行研究。

56 、This papar surveys an algorithm based on orthogonal transform.───本文提出利用正交變換的方法估計電網(wǎng)的復(fù)功率和相位差。

57 、Codes which are mutually orthogonal in time domain.───同一個組內(nèi)的碼在時域上相互正交。

58 、Mango chosen as material, orthogonal experimental method is used to make fermented alcohol.───摘要以芒果為原料，采用正交試驗法優(yōu)選出的最佳芒果發(fā)酵條件。

59 、Through the analysis of orthogonal test,the most appropriate amount of medick sativa in bread were decided.───將苜蓿素添加在面包中,通過正交實驗分析,確定了其最佳用量。

60 、Abstract: In this paper, an orthogonal designing method was used for the optimal design of an exhaust muffler for vehicle.───文摘:利用正交設(shè)計方法對汽車的排氣**器進行優(yōu)化設(shè)計，弄清了不同參數(shù)對**器性能的影響和變化規(guī)律。

61 、In many cases sample coordinates are recorded on an orthogonal grid coordinate system.───在多數(shù)情況下，樣品坐標(biāo)記錄在正交網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)系。

62 、The construction of the B-spline wavelet is simple, and it has better stability than the orthogonal wavelet.───摘要與正交小波相比，樣條小波構(gòu)造簡單，對信號的重構(gòu)具有更好的穩(wěn)定性。

63 、Walsh functions are orthogonal and complete.───1923年美國數(shù)學(xué)家沃爾什(WALSH)提出的沃爾什函數(shù)就是一種正交完備的函數(shù)系。

64 、The best technical conditions were determined to obtain higher substitution CMC by the orthogonal experiment.───以取代度為目標(biāo),用正交實驗方法確定了最佳工藝條件,制得較高取代度CMC。

65 、The mechanical properties of a skew girder bridge differ a great deal from those of an orthogonal girder bridge.───斜梁橋的力學(xué)特點與正交梁橋相比有很大區(qū)別。

66 、OBJECTIVE To optimally select the best extracting technology of flavonoids in Herba Sceptrdium by Orthogonal test.───方法采用正交實驗法考察乙醇濃度、乙醇用量、提取時間和提取次數(shù)對總黃酮提取的影響。

67 、In this paper, an orthogonal designing method was used for the optimal design of an exhaust muffler for vehicle.───利用正交設(shè)計方法對汽車的排氣**器進行優(yōu)化設(shè)計，弄清了不同參數(shù)對**器性能的影響和變化規(guī)律。

68 、A method of constructing magic square and mutually orthogonal Latin square of order 4t is discovered firstly.───一種4t階幻方及正交拉丁方的構(gòu)造方法被首次發(fā)現(xiàn)。

69 、Ferrite orthogonal core (FOC) controllable reactor (CR) is varied by its DC bias magnetic field.───傳統(tǒng)的正交鐵心可控電抗器通過控制在正交鐵心上的直流偏磁場間接控制交流磁場，調(diào)節(jié)交流等效電抗。

70 、The non-classical properties of orthogonal coherent state in parametric amplification process are investigated.───摘要研究正交相干態(tài)經(jīng)過參量放大后態(tài)的非經(jīng)典特性。

71 、Camber line becomes orthogonal arc tooth wimble gear.───中心線成直角的弧齒錐齒輪。

72 、Extraction technology of flavones in onionskin was studied by single factor and orthogonal experiment.───對洋蔥皮黃酮類物質(zhì)的提取工藝進行了研究。

73 、Construct an animation displaying a pair of orthogonal tangents of a fixed cardioid.───建構(gòu)一動態(tài)繪圖。展示給定的心臟線外一對的正交切線。

74 、Construct rotating cardioid and nephroid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉(zhuǎn)的心臟線和旋轉(zhuǎn)的腎臟線，且彼此維持正交。

75 、Methods: ultrasonics extraction was used to extract.The optimum extraction process was confimed by the orthogonal test.───方法:采用超聲波提取、正交試驗優(yōu)化及高效液相色譜法測定所得翻白草中熊果酸的含量。

76 、DPSS are set of indexlimited orthogonal sequences, which have maximum spectral energy in the frequency range.───在眾多的正交序列中，DPSS在設(shè)定的頻率范圍內(nèi)具有最大的頻譜能量。

77 、Construct a pair of rotating orthogonal cardioids.───作一對相互正交的旋轉(zhuǎn)心臟線。

78 、Besides a decision method for degree of orthogonal of k directions is proposed, and Brent method is improved as well.───提出了k個方向正交程度的判定方法. 并對Brent方法作了相應(yīng)的改進.

79 、Methods: It was studied by orthogonal experimental design and oridonin in extraction was determined by HPLC.───方法：通過正交試驗，以HPLC法測定提取物中冬凌草甲素的含量為指標(biāo)進行研究。

80 、Application of Orthogonal Design in Selecting Culture Condition in Vitro of Rose multi flora f. Platyphylla Thory.───應(yīng)用多因子正交試驗篩選野生七姊妹離體培養(yǎng)條件。

81 、A construction algorithm for orthogonal balanced symmetric multiscaling functions is obtained.An example is given.───建立構(gòu)造正交對稱平衡的多尺度函數(shù)的算法，并給出構(gòu)造算例。

82 、If the compliances are not equal in the three orthogonal directions, it is anisoelastic.───如果在三個垂直方向的彈性變形率并不相等，即它是不等彈性的。

波函數(shù)正交性的數(shù)學(xué)表達式

我們現(xiàn)在討論一下本征波函數(shù)的正交性（orthogonal function），一般我們都是在幾何中才會用到的概念，即兩條直線相互垂直，著兩條直線正交。那么什么是函數(shù)的正交性呢？

本征方程的正交性

首先我們定義什么是函數(shù)的正交性：兩個在非零函數(shù)的函數(shù)g(z),h(z)，如果他們的積分,那么這兩個函數(shù)正交。

我們現(xiàn)在可以證明，我們求得的一維無限深勢阱的本征函數(shù)們之間相互正交：本征函數(shù)的正交性和奇偶性。具有相反對稱性的本征函數(shù)之間永遠正交，因為以MM'為分界線，左側(cè)的積分和右側(cè)的積分相互抵消了。

機器學(xué)習(xí)中的線性代數(shù)

機器學(xué)習(xí)中的線性代數(shù)

線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)中的一個重要的分支，廣發(fā)應(yīng)用在科學(xué)與工程中。掌握好線性代數(shù)對于理解和從事機器學(xué)習(xí)算法相關(guān)的工作是很有必要的，尤其是對于深度學(xué)習(xí)而言。因此，在開始介紹深度學(xué)習(xí)之前，先集中探討一些必備的線性代數(shù)知識。

2.1 標(biāo)量，向量，矩陣和張量

標(biāo)量（scalar）：一個標(biāo)量就是一個單獨的數(shù)。用斜體表示標(biāo)量，如s∈R

.

向量（vector）：一個向量是一列數(shù)，我們用粗體的小寫名稱表示向量。比如x

將向量x

寫成方括號包含的縱柱：

x=x1x2?xn

矩陣（matrix）：矩陣是二維數(shù)組，我們通常賦予矩陣粗體大寫變量名稱，比如A。如果一個矩陣高度是m，寬度是n，那么說A∈Rm×n。一個矩陣可以表示如下：

A=[x11x21x12x22]

張量（tensor）：某些情況下，我們會討論不止維坐標(biāo)的數(shù)組。如果一組數(shù)組中的元素分布在若干維坐標(biāo)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，就將其稱為張量。用A表示，如張量中坐標(biāo)為(i,j,k)的元素記作Ai,j,k。

轉(zhuǎn)置（transpose）：矩陣的轉(zhuǎn)置是以對角線為軸的鏡像，這條從左上角到右下角的對角線稱為主對角線（main diagonal）。將矩陣A

的轉(zhuǎn)置表示為A?

定義如下：

(A?)i,j=Aj,i

A=?x11x21x31x12x22x32A?=[x11x21x21x22x31x32]

2.2 矩陣和向量相乘

矩陣乘法是矩陣運算中最重要的操作之一。兩個矩陣A

和B的矩陣乘積(matrix product)是第三個矩陣C。矩陣乘法中A的列必須和B的行數(shù)相同。即如果矩陣A的形狀是m×n，矩陣B的形狀是n×p，那么矩陣C的形狀就是m×p

即

C=A×B

具體的地，其中的乘法操作定義為

Ci,j=∑kAi,kBk,j

矩陣乘積服從分配律

A(B+C)=AB+AC

矩陣乘積也服從結(jié)合律

A(BC)=(AB)C

注意：矩陣乘積沒有交換律

點積（dot product）兩個相同維數(shù)的向量x

和y的點積可看作是矩陣乘積x?y

矩陣乘積的轉(zhuǎn)置

(AB)?=B?A?

利用向量的乘積是標(biāo)量，標(biāo)量的轉(zhuǎn)置是自身的事實，我們可以證明（10）式：

x?y=(x?y)?=y?x

線性方程組

Ax=b

2.3 單位矩陣和逆矩陣

線性代數(shù)中提供了矩陣逆（matrix inverse）的工具，使得我們能夠解析地求解（11）中的A

.

單位矩陣（identity matrix）：任意向量與單位矩陣相乘都不會改變。我們將保持n

維向量不變地單位矩陣記作為In，形式上In∈Rn×n

x∈Rn,Inx=x

矩陣A的矩陣逆被記作A?1，被定義為如下形式：

A?1A=AA?1=In

（11）式方程組的求解：

Ax=bA?1Ax=A?1bInx=A?1bx=A?1b

方程組的解取決于能否找到一個逆矩陣A?1。接下來討論逆矩陣A?1的存在的條件。

2.4 線性相關(guān)和生成子空間

如果逆矩陣A?1

存在，那么（11）式肯定對于每一個向量b恰好存在一個解。分析方程有多少個解，我們可以看成是A

的列向量的線性組合（linear combination）。

Ax=∑ixiA:,i

形式上，某個集合中向量的線性組合，是指每個向量乘以對應(yīng)系數(shù)之后的和，即

∑iciv(i)

一組向量的生成空間(span)是原始向量線性組合后所能抵達的點的集合。

線性無關(guān)（linearly independent）： 如果一組向量中的任意一個向量都不能表示成其他向量的線性組合，那么這組向量被稱之為線性無關(guān)。

要想使矩陣可逆，首先必須矩陣是一個方陣（square），即m=n

其次，所有的列向量都是線性無關(guān)的。

一個列向量線性相關(guān)的方陣被稱為奇異的（singular）。

2.5 范數(shù)

有時候我們需要衡量一個向量的大小，在機器學(xué)習(xí)中，我們使用稱為范數(shù)（norm）的函數(shù)來衡量矩陣大小，形式上，Lp

范數(shù)如下：

||x||p=(∑i|xi|p)12

其中p∈R,p≥1。

范數(shù)是將向量映射到非負值的函數(shù)。直觀上來說，向量x

的范數(shù)就是衡量從原點到x

的舉例。更嚴格來說，范數(shù)滿足下列性質(zhì)的函數(shù)：

f(x)=0?x=0

f(x+y)≤f(x)+f(y)

α∈R,f(αx)=|α|f(x)

當(dāng)p=2

時，L2被稱作歐幾里得范數(shù)（Euclidean norm）。它表示從原點出發(fā)到向量x確定的點的歐幾里得距離。平方L2范數(shù)常被用來衡量向量的大小，因為它便于求導(dǎo)計算（如對向量中每個元素的導(dǎo)數(shù)只取決于對應(yīng)的元素，但是它也有缺陷，即它在原點附近增長得十分緩慢），可以簡單用點積x?x

來計算。

max 范數(shù)（max norm）：這個范數(shù)表示向量中具有最大幅度得元素的絕對值，用L∞

范數(shù)表示，期形式為：

||x||∞=∑(i,j)A2i,j√

兩個向量的點積(dot product)也可以用范數(shù)來表示。具體地，

x?y=||x||2||y||2cosθ

2.6 特殊類型的矩陣和向量

對角矩陣(diagonal matrix)只在主對角線上含有非零元素，其它位置都是零。矩陣D

是對角矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)?i≠j,Di,j=0，用diag(v)表示一個對角元素由向量v

中元素給定的對角矩陣。

對稱(symmetric) 矩陣是任意轉(zhuǎn)置和自己相等的矩陣：

A=A?

即在矩陣A中，有Ai,j=Aj,i。

單位向量（unit vector）是具有單位范數(shù)（unit norm）的向量：

||x||2=1

如果x?y=0，那么向量x和向量y互相正交（orthogonal）。如果兩個向量都有非零范數(shù)，那么表示這兩個向量之間的夾角是90 度。在Rn中，至多有n個范數(shù)非零向量互相正交。如果這些向量不僅互相正交，并且范數(shù)都為1，那么我們稱它們是標(biāo)準(zhǔn)正交（orthonormal）。

正交矩陣（orthonormal matrix）是指行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的，列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的方陣：

A?A=AA?=I

這意味著

A?1=A?

所以正交矩陣受到關(guān)注是因為求逆計算代價小。需要注意正交矩陣的定義。反直覺地，正交矩陣的行向量不僅是正交的，還是標(biāo)準(zhǔn)正交的。對于行向量或列向量互相正交但不是標(biāo)準(zhǔn)正交的矩陣沒有對應(yīng)的專有術(shù)語。

2.7 特征分解

許多數(shù)學(xué)對象可以通過將它們分解成多個組成部分，或者找到它們的一些屬性而被更好地理解，這些屬性是通用的，而不是由我們選擇表示它們的方式引起的。就像我們可以通過分解質(zhì)因數(shù)來發(fā)現(xiàn)一些關(guān)于整數(shù)的真實性質(zhì)，我們也可以通過分解矩陣來獲取一些矩陣表示成數(shù)組元素時不明顯的函數(shù)性質(zhì)。

特征分解(eigendecomposition)是使用最廣的矩陣分解之一，即我們將矩陣分解成一組特征向量和特征值。

方陣A

的特征向量（eigenvector）是指與A相乘后相當(dāng)于對該向量進行縮放的非零向量v

Av=λv

標(biāo)量λ被稱為這個特征向量對應(yīng)的特征值（eigenvalue）。

如果v

是A的特征向量，那么任何放縮后的向量sv(s∈R,s≠0)也是A

的特征向量并且其與bf v 有相同的特征值。所以我們通常只考慮單位特征向量。

假設(shè)矩陣A

有n個線性無關(guān)的特征向量{v(1),v(2),...,v(n)}，對應(yīng)著的特征值{λ1,λ2,...,λn}

我們將特征向量連成一個矩陣，使得每一列是一個特征向量：

V=[v(1),v(2),...,v(n)]

類似地，特征值連成一個向量：

λ=[λ1,λ2,...,λn]?

因此bf A 的特征分解（eigendecomposition）可以記作：

A=Vdiag(λ)V?1

上面我們構(gòu)建具體特定的特征值和特征向量，能夠使我們在目標(biāo)方向上延伸空間。我們也常常希望將矩陣分解(decompose)成特征值和特征向量。這樣可以幫助我們分析矩陣的特定性質(zhì)，就像質(zhì)因數(shù)分解有助于我們理解整數(shù)。

不是每一個矩陣都可以分解成特征值和特征向量，在某些情況下，特征分解會涉及到復(fù)數(shù)，而非實數(shù)。在本書的機器學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)中，我們只討論一類簡單分解的矩陣。具體就是，每個實對稱矩陣都可以分解為實特征向量和實特征值：

A=QΛQ?

其中Q是A的特征向量組成的正交矩陣，Λ是對角矩陣。特征值Λi,i對應(yīng)的特征向量是矩陣Q的第i列，記作Q:,i。因為Q是正交矩陣，所以可以將A看作是沿方向v(i)延展λi倍的空間。如下圖所示：

2.8 跡運算

跡運算返回的是矩陣對角元素的和：

Tr(A)=∑iAi,i

跡運算因為很多原因而受到關(guān)注。若不使用求和符號，有些矩陣運算很難描述，而通過矩陣乘法和跡運算符號，可以進行清楚地表示。例如，跡運算提供了另一種描述矩陣Frobenius 范數(shù)的方式:

||A||F=Tr(AA?)√

用跡運算表示式，使我們可以用很多有用的性質(zhì)來操縱表示式。例如跡運算在轉(zhuǎn)置下是不變的：

Tr(A)=Tr(A?)

多個矩陣乘積的跡還滿足鏈?zhǔn)揭?guī)律，即：

Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)

標(biāo)量的跡是它本身：a=Tr(a)。

2.9 行列式

行列式，記作det(A)

是一個將方陣A

映射到實數(shù)的函數(shù)。行列式等于矩陣特征值的乘積。行列式的絕對值可以被認為是衡量矩陣相乘后空間擴大或者縮小了多少。如果行列式是0, 那么空間至少沿著某一維完全收縮了，使其失去了所有的體積。如果行列式是1, 那么矩陣相乘沒有改變空間體積。

總結(jié)

以上是在機器學(xué)習(xí)過程中必須了解和掌握的有關(guān)線性代數(shù)的知識